格密码基础：子格，q-ary垂直格与线性代数

目录

一.写在前面

二.子空间垂直

2.1 理论解释

2.2 举例分析

3.1 零空间与q-ary垂直格

3.2 零空间与行/列空间

四. 格密码相关

一.写在前面

格密码中的很多基础原语都来自于线性代数的基本概念，比如举几个例子：

格密码中的非满秩格------------矩阵的秩，矩阵列向量的线性独立性

格基正交化过程------------------正交矩阵的性质与变换

子格---------------------------------矩阵子空间

正交子格---------------------------正交子空间

q-ary垂直格-----------------------向量与矩阵列空间垂直

本文章将解释线性代数中的子空间，正交矩阵，零空间，矩阵的秩在格密码中的运用。

二.子空间垂直

2.1 理论解释

一个点：0维度

一条线：1维度

一个平面：2维度

一个立体图形：3维度

以此类推。。。。。

子空间垂直要求：一个子空间中的任意向量与另一子空间中的任意向量都垂直。

比如 R^3 的子空间维度可以是0,1,2,3。0维的子空间只能是原点 $\lbrace 0\rbrace$ （如果选其他点的话，必然构成一条线），当然按照惯例，原点形成的0维子空间与任意子空间都垂直。

子空间垂直领域，一条线可以跟一条线垂直，一条线可以跟一个平面垂直，但注意一个平面和一个平面不可能垂直。

注意：此处与以前高中学习的平面垂直是不一样的。

举个例子：

一间教室前面的墙和侧边的墙，我们感觉是垂直的。但不符合子空间垂直的概念，你沿着角落那条线，在前面墙画一条竖线，在侧面墙画一条竖线，这两条竖线很明显平行，并不垂直。

总结以上，子空间垂直的官方定义如下：

Two subspaces V and W of the same space R^n are orthogonal if every vector v in V is orthogonal to every vector w in W: v^Tw=0 for all v and w.

2.2 举例分析

给出两个向量 v_1=(1,0,0,0), v_2=(1,1,0,0) ，很明显这两个向量形成的子空间V为2维的平面。给出向量 w=(0,0,4,5) ，很明显这一个向量形成的子空间W为一条线。

根据向量垂直的基础知识，很容易验证既与 v_1 垂直，也与 v_2 垂直。

接着很容易推导出，子空间与子空间互相垂直。

在这个例子里面，V的维度是2，W的维度是1，总空间大小是 R^4 ，说明还缺一个维度。再给出一个向量 z=(0,0,5,-4) ，该向量形成的子空间为L，很明显它既垂直于V，又垂直于W。现在把它们的维度加在一起：2+1+1=4，刚刚好。

三. 零空间

3.1 零空间与q-ary垂直格

对于正整数n和q，选出 $A\in Z^{m\times n}$ （密码学通常要求该矩阵随机取），这个矩阵是公开的，如果有一个向量z乘以该矩阵为0向量，那么把满足此条件的向量z全部都组合在一起，就称之为q-ary垂直格，如下：

$\Lambda^\bot(A)=\lbrace z\in Z^n:Az=0 \quad mod\ q\rbrace$

仔细观察此处的向量z，这不就是线性代数中的零空间！后续讨论中，我们用x来代替z，代表其在线性代数中可以取非整数，如下：

Ax=0

矩阵A的行向量都是n维的，所以行空间是 R^n 的子空间。向量x也是n维的，所以此零空间也是 R^n 的子空间。

3.2 零空间与行/列空间

定理

在上，行空间与零空间互相垂直；
在上，列空间与左零空间互相垂直；

证明：

给定任意m行n列矩阵A，从其零空间中抽取一个n维向量x，满足Ax=0，该方程组有m个方程，可以理解为矩阵A的每一行都与向量x相乘，如下：

第一行与向量x的内积为0，所以第一行与向量x垂直。以此类推，向量x与每一行都垂直。也就是向量x与每一行的任意线性组合都垂直。这不就是零空间内任意向量x都与行空间内任意向量垂直，写作：

$N(A)\bot C(A^T)$

矩阵的列空间也有类似的性质。比如 y^TA=0 ，如下：

向量y垂直于矩阵A的每一列。向量y形成的空间就是所谓的左零空间。通常写作：

$N(A^T)\bot C(A)$

N(A^T) 代表左零空间，C(A)代表矩阵A的列空间。

3.3 举例

给定一个秩为1的矩阵A，如下：

$A=\left[ \begin{array}{cc} 1& 3 \\ 2&6\\ 3&9 \end{array} \right]$

由此可得该矩阵的行空间和列空间均为一条线。观察发现矩阵A的每一行都是向量 (1,3) 的倍数，由此可类推其零空间中包含向量 (3,-1) ，该向量与矩阵A的任意行都垂直，如下：

行空间的维度为1，零空间的维度也为1，总维度为 R^2 。总结出规律：

r+(n-r)=n

列空间是过点 (1,2,3) 的一条线，左零空间的点记为 (y_1,y_2,y_3) ，根据 y^TA=0 ，需要满足：

y_1+2y_2+3y_3=0

这不就是一个平面。总结规律：

r+(m-r)=m

四. 格密码相关

格密码的SIS问题与矩阵正交相关。

结论1：

$N(A)=(C(A^T))^\bot, \quad C(A^T)=(N(A))^\bot$

理解：零空间是行空间的正交补集。

结论2：

行空间维度+零空间维度=矩阵列数

列空间维度+左零空间维度=矩阵行数

结论3：

左零空间在 R^m 上是列空间的正交补集。