C++循环结构设计——韩信点兵(转载)

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韩信点兵(hanxin)

相传韩信才智过人,从不直接清点自己军队的人数,只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形,而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入包含多组数据,每组数据包含3个整数a,b,c,表示每种队形排尾的人数(a<3,b<5,c<7),输出总人数的最小值(或报告无解)。已知总人数不小于10,不超过100。输入到文件结束为止。

样例输入:

2 1 6

2 1 3

样例输出:

Case 1: 41

Case 2: No answer

方法一:已知总人数不小于10,不超过100,则在此范围内使用for循环依次检验总人数所排队型是否满足队尾人数。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
 
int main()
{
    int sum=0,a,b,c;
    int kcase=1;
    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)==3)
    {
        for(sum=10;sum<=100;sum++)
        {
            if(sum%3==a&&sum%5==b&&sum%7==c)
            {
                printf("Case %d: %d\n",kcase++,sum);
                break;
            }
 
        }
        if(sum==101)
        {
            kcase++;
            printf("No answer\n");
        }
    }
 
    return 0;
}

方法二:中国剩余定理,又称为中国余数定理、孙子剩余定理,古有"韩信点兵"、"孙子定理"、"鬼谷算"、"隔墙算"、"剪管术"、"秦王暗点兵"、"物不知数"之名,是数论中的一个重要命题。

在中国古代著名数学著作《孙子算经》中,有一道题目叫做“物不知数”,原文如下:

有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?

即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数。

中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答,口诀如下:

三人同行七十希,五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五使得知

这个解法实际上是,首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出

5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余1的最小一个为70(这个称为35相对于3的数论倒数),

3和7的最小公倍数21(除以5余1)相对于5的数论倒数21,

3和5的最小公倍数15(除以7余1)相对于7的数论倒数15。

然后70×2+21×3+15×2=233,233便是可能的解之一。

它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解,因此最小的解为233除以105的余数23。

附注:这个解法并非最简,因为实际上35就符合除3余2的特性,所以最小解是:35×1+21×3+15×2-3×5×7=128-105=23 

最小解加上105(=3×5×7)的正整数倍都是解

物不知数”的解法实际上给出了求解一般同余方程组的方法。

设m1,m2,…,mi为两两互质的正整数,a1,a2,…,ak为任意整数,则同余方程组:

x≡a1(mod m1);

x≡a2(mod m2);

……

x≡ai(mod mi);

总有整数解,并且它的全部解可模仿上述方法得到。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
 
int main()
{
    int a,b,c;
    int kcase=1;
    while(scanf("%d %d %d",&a,&b,&c)!=EOF)
    {
        int s = a*70+b*21+c*15;
        s%=(3*5*7);
        if(s>100||s<10)
        {
            kcase++;
            printf("No answer\n");
        }
        else
        {
            printf("Case %d: %d\n",kcase++,s);
        }
    }
 
    return 0;
}
 
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