python与数学建模（一）——线性规划

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python与数学建模（一）——线性与非线性规划

​ 数学建模国赛刚刚结束，博主想做一个有关使用python进行数学建模的专题。python作为一个简单高效的语言，虽然执行速度慢，不过能够快速开发。相比matlab, python更加轻量，集成度更高，使用在数学建模上完全可以胜任。

一、什么是线性规划？

​ 我们不阐述具体的概念，可以将由以下形式的优化问题看成线性规划问题：
m i n ∑ j = 1 n c j x j s . t . ∑ j = 1 n a i j x j = b i , i = 1 , . . . , m , x j > = 0 , i = 1 , . . . , m , min\sum_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}\\s.t.\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}, i=1,...,m,\\x_{j}>=0,i=1,...,m, minj=1∑n​cj​xj​s.t.j=1∑n​aij​xj​=bi​,i=1,...,m,xj​>=0,i=1,...,m,
​ 或者我们可以用矩阵表示：
m i n cx s . t . Ax = b , x > = 0 , min\quad\textbf{cx}\\ s.t.\quad\textbf{Ax}=\textbf{b},\\ \quad\quad\quad\textbf{x}>=\textbf{0}, mincxs.t.Ax=b,x>=0,
​ 很多时候，我们遇到的线性规划或者是非线性规划问题的约束条件不都是等式，需要加入松弛变量转化为标准形式。此处不深入讨论，我们看下面的代码求解说明，仅考虑最简单的情形。

二、python求解线性规划问题

假设我们要最小化目标函数f=2x+y，满足以下约束条件：

  1. x >= 0
  2. y >= 0
  3. x + y <= 8
  4. 2x + y <= 12
from scipy.optimize import linprog

# 定义目标函数的系数
c = [2, 1]

# 定义不等式约束的系数矩阵
A = [
    [-1, 0],
    [0, -1],
    [1, 1],
    [2, 1]
]

# 定义不等式约束的上界
b = [0, 0, 8, 12]

# 求解线性规划问题
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)

if res.success:
    print("最小值为:", res.fun)
    print("最优解为: x =", res.x)
else:
    print("无法找到最优解。")

在这个例子中，c是目标函数的系数，A是不等式约束的系数矩阵，b是不等式约束的上界。linprog函数将会返回一个OptimizeResult对象，其中fun表示目标函数的最小值，x表示最优解。

输出结果

# 最小值为: 0.0
# 最优解为: x = [0. 0.]

三、python求解非线性规划

求解非线性规划，转化为线性规划问题即可。

假设我们要最小化目标函数 f = x^2 + y^2，同时满足以下约束条件：

  1. x >= 1

  2. y >= 1

  3. x + y <= 10

  4. x^2+y^2 = 5

    from scipy.optimize import minimize

# 定义目标函数
def objective_function(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

# 定义约束条件
def constraint1(x):
    return x[0] - 1

def constraint2(x):
    return x[1] - 1

def constraint3(x):
    return 10 - x[0] - x[1]

# 定义等式约束
def eq_constraint(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 5

# 定义初始猜测点
x0 = [0, 0]

# 定义约束条件，ineq表示大于0的不等式等式约束，eq表示等式约束
constraints = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
               {'type': 'ineq', 'fun': constraint2},
               {'type': 'ineq', 'fun': constraint3},
               {'type': 'eq', 'fun': eq_constraint}]

# 求解非线性规划问题
res = minimize(objective_function, x0, constraints=constraints)

if res.success:
    print("最小值为:", res.fun)
    print("最优解为: x =", res.x)
else:
    print("无法找到最优解。")

    • ineq: 表示不等式约束，即将约束函数的结果限制在非负区间。对于函数fun(x)，如果约束条件为fun(x) >= 0，则使用{'type': 'ineq', 'fun': fun}来表示。如果约束条件为fun(x) <= 0，则需要在定义约束函数时取反：fun(x) <= 0 等价于 -fun(x) >= 0。

    • eq: 表示等式约束，即将约束函数的结果限制为一个常数。对于函数fun(x)，如果约束条件为fun(x) = 0，则使用{'type': 'eq', 'fun': fun}来表示。

等式约束，即将约束函数的结果限制为一个常数。对于函数fun(x)，如果约束条件为fun(x) = 0，则使用{'type': 'eq', 'fun': fun}来表示。

输出结果

# 无法找到最优解。