MIT_线性代数笔记：第 22 讲 对角化和矩阵的幂
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本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵，以及对角化是怎样简化计算的。
对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS = Λ
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，将它们作为列向量可以组成一个可逆方阵 S，并且有：
这里的矩阵 Λ 为对角阵，它的非零元素就是矩阵 A 的特征值。因为矩阵 S 中的列向量线性无关，因此逆矩阵 S-1存在。在等式两侧左乘逆矩阵，得到 S-1AS=Λ。同样地，A=SΛS-1。
对于消元法而言，矩阵有 LU 分解，对于施密特正交法，矩阵有 QR 分解，而上面的推导是一种新的矩阵分解。
矩阵的幂 Powers of A
特征值给矩阵的幂计算提供了方法。
如果 Ax=λx，则有
A
2
A^2
A2x=λAx=
λ
2
λ^2
λ2x。说明矩阵
A
2
A^2
A2 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为
λ
2
λ^2
λ2。我们将写成对角化形式则有：
A
2
A^2
A2=SΛ
S
−
1
S^{-1}
S−1SΛ
S
−
1
S^{-1}
S−1=S
Λ
2
Λ^2
Λ2
S
−
1
S^{-1}
S−1。做相同的处理还可以得到：
A
k
A^k
Ak =S
Λ
k
Λ^k
Λk
S
−
1
S^{-1}
S−1。这说明
A
k
A^k
Ak 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为
λ
k
λ^k
λk。
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，如果所有的特征值均满足 ∣ λ i ∣ \begin{vmatrix} λ_i \end{vmatrix} λi <1 。则 k→∞时， A k A^k Ak→0。
重特征值 Repeated eigenvalues
如果矩阵 A 没有重特征值，则其一定具有 n 个线性无关的特征向量。
如果矩阵 A 有重特征值，它有可能具有 n 个线性无关的特征向量，也可能没有。比如单位阵的特征值为重特征值 1，但是其具有 n 个线性无关的特征向量。
差分方程 Difference equations u k + 1 u_{k+1} uk+1=A u k u_k uk
从给定的一个向量 u0 出发，我们可以通过对前一项乘以矩阵 A 得到下一项的方式，得到一个向量序列： u k + 1 u_{k+1} uk+1=A u k u_k uk.
这里的
u
k
+
1
u_{k+1}
uk+1=A
u
k
u_k
uk可以是一个一阶差分方程，而
u
k
u_k
uk=
A
k
u
0
A^ku_0
Aku0就是方程的解。但这种简洁形式并没有给出足够的信息，我们需要通过特征向量和矩阵的幂运算给出真实解的结构。
斐波那契数列 Fibonacci sequence
斐波那契数列为 0,1,1,2,3,5,8,13……其通项公式为 Fk+2=Fk+1+Fk。求 F100 ？ 如果我们以矩阵的方式来理解数列，则矩阵的特征值可以告诉我们数列中数值的增长速度。
为了凑成矩阵形式，需要用一个比较巧妙的技巧。令
u
k
u_k
uk =
[
a
b
]
\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}
[ab] ，则有：
F
k
+
2
=
F
k
+
1
+
F
k
F
k
+
1
=
F
k
+
1
\begin{align*} &F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k}\\ &F_{k+1} = F_{k+1} \end{align*}
Fk+2=Fk+1+FkFk+1=Fk+1
写成矩阵形式为
u
k
+
1
=
[
1
1
1
0
]
u
k
u_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} u_k
uk+1=[1110]uk
观察矩阵 A=
[
1
1
1
0
]
\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}
[1110]的特征值和特征向量，因为其为对称矩阵，特征值为实数，且特征向量正交。
