过平面三点求圆的圆心和半径

设平面三点v0,v1,v2 求过三点的圆的圆心c?
解:
由圆的方程
( x − x c ) 2 + ( y − y c ) 2 = r 2 (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 (xxc)2+(yyc)2=r2 (1)

将三点代入(1)得到:
( x 0 − x c ) 2 + ( y 0 − y c ) 2 = r 2 (x_0-x_c)^2+(y_0-y_c)^2=r^2 (x0xc)2+(y0yc)2=r2 (2)
( x 1 − x c ) 2 + ( y 1 − y c ) 2 = r 2 (x_1-x_c)^2+(y_1-y_c)^2=r^2 (x1xc)2+(y1yc)2=r2 (3)
( x 2 − x c ) 2 + ( y 2 − y c ) 2 = r 2 (x_2-x_c)^2+(y_2-y_c)^2=r^2 (x2xc)2+(y2yc)2=r2 (4)

(2)-(3)得
( 2 ∗ x 1 − 2 ∗ x 0 ) ∗ x c + ( 2 ∗ y 1 − 2 ∗ y 0 ) ∗ y c = x 1 2 + y 1 2 − x 0 2 − y 0 2 (2*x_1-2*x_0)*x_c+(2*y_1-2*y_0)*yc=x_1^2+y_1^2-x_0^2-y_0^2 (2x12x0)xc+(2y12y0)yc=x12+y12x02y02 (A)

(3)-(4)得
( 2 ∗ x 2 − 2 ∗ x 1 ) ∗ x c + ( 2 ∗ y 2 − 2 ∗ y 1 ) ∗ y c = x 2 2 + y 2 2 − x 1 2 − y 1 2 (2*x_2-2*x_1)*x_c+(2*y_2-2*y_1)*yc=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2 (2x22x1)xc+(2y22y1)yc=x22+y22x12y12 (B)

则A,B构成一个二元一次方程组

[ a 0 b 0 a 1 b 1 ] [ x c y c ] = [ d 0 d 1 ] \begin{bmatrix} a_0 & b_0 \\ a_1 & b_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_c \\ y_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \end{bmatrix} [a0a1b0b1][xcyc]=[d0d1]
采用克莱姆法可以计算出xc(xc, yc),当分母 a 0 ∗ b 1 − a 1 ∗ b 0 a_0*b_1-a_1*b_0 a0b1a1b0接近0,则无解。
知道圆心,则代入(1)可以求出半径r。