线性代数感悟之4 通过增广矩阵查看解的情况上篇

最近在看 liuyubobobo 的  线性代数 课,感觉很妙,有些感悟记录一下~~~

通过增广矩阵查看解的情况:

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主元(首元)定义:非零行的第一个元素。

什么是阶梯形矩阵?

感性定义:可以画个阶梯,阶梯下面都是0

理性定义

  1.  有全零行的话,一定是在矩阵的最下方

  2.  主元的位置,随着行号的递增,向右偏。

  3.  阶梯下方的元素都是0

如果在阶梯型矩阵的条件下,继续满足一个条件:

    4.  主元为1,且主元所在列其他元素为0。

那么 这样的矩阵称之为,rref(行最简形式),

以下两个矩阵,都满足RREF的定义:

分析:

1 首先它是一个阶梯形矩阵

2 主元为1,且主元所在列其他元素为0。

以下矩阵不是行最简形式:

分析:

第一个是阶梯型矩阵,但是不满足:主元为1,且主元所在列其他元素为0。

第二个和第三个,不是阶梯型矩阵。

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接下来将增广矩阵变化成行最简形式,再来判断解的的结构。

首先给出定义:

系数矩阵:这个矩阵只包括原方程组的系数,没有等式右侧的那个常数。(及虚线左边的矩阵)

下图中的A就表示 “系数矩阵”,而未知数的个数就是看,系数矩阵有几列。

这里还有个,行最简形式的非零行,就是整个矩阵的非零行。’

​由于对比的是系数矩阵和整个矩阵,而系数矩阵是被包含在整个矩阵之内的。

 所以非零行的个数,只可能是系数矩阵的个数小于等于整个矩阵的个数(不可能大于)。 

那么先看非零行是否一致,不一致的话(不相等),那绝对小于。此时无解。 

如果一致,再看是有唯一解还是无数解。

 小结: 

  • 1 最重要的就是系数矩阵的非零行个数 

  • 2 先对比非零行是否一致,不一致,无解(一致就在往下看) 

  • 3 再看未知数个数,判断有几个解 

           3.1  如果  未知数个数=A非零行,那此时,A就是一个单位矩阵了!所以一定是唯一解

           3.2  如果 A非零行<未知数个数 此时无数解

           3.3  不存在 A非零行>未知数个数 的情况:画一下,就知道了,如果非零行大于列数(及未知数个数),那就不满足阶梯矩阵了!